Como saber si un sistema es compatible determinado o indeterminado

Un sistema con más incógnitas que ecuaciones tiene al menos una solución

En las secciones anteriores, hemos visto cómo resolver sistemas indeterminados con un solo grado de indeterminación (ya sea determinación interna o externa). Pero, ¿qué ocurre si tenemos un sistema con dos o más grados de indeterminación? En la figura 8.19 se representa una situación de este tipo. Esta viga es similar a la viga indeterminada estudiada anteriormente en la figura 8.1, pero con un extremo fijo en el punto A en lugar de un pasador. Esto le da a la viga un grado extra de indeterminación, convirtiéndola en un sistema ${2^\circ}$ indeterminado.

Ahora que tenemos múltiples fuerzas redundantes, tendremos múltiples condiciones de compatibilidad, así, uno para cada redundante. En la viga de ejemplo de la figura 8.19, hay una condición de compatibilidad asociada a cada apoyo, es decir, que el desplazamiento global en el apoyo tiene que ser igual a cero.

Con nuestros análisis anteriores del método de fuerzas, encontraríamos entonces el efecto de una unidad redundante (en la ubicación de la fuerza redundante) sobre la deformación en la misma ubicación del apoyo. A continuación, utilizamos esa unidad redundante para hallar la fuerza redundante total que es necesaria para contrarrestar el efecto de las cargas externas sobre el sistema primario (para que la flexión del apoyo vuelva a cero, donde sabemos que tiene que estar debido a la compatibilidad).

Cómo resolver un sistema de ecuaciones indeterminado

En un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas, existe una solución única si y sólo si, (a) el número de incógnitas y el número de ecuaciones son iguales, (b) todas las ecuaciones son coherentes, y (c) no existe dependencia lineal entre dos o más ecuaciones cualesquiera, es decir, todas las ecuaciones son independientes.

En un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, si una o más ecuaciones son inconsistentes, el sistema no tiene solución. Por ejemplo, si en un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas con dos ecuaciones y dos incógnitas, una ecuación es \(x+y=2\) y otra ecuación es \(3x+3y=5\), estas dos ecuaciones son incoherentes dentro del sistema dado. Son inconsistentes porque si \(x+y=2\), entonces \(3x+3y\) debe ser \(6\), no \(5\). No se puede resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas \(x+y=2\) y \(3x+3y=5\) ya que son inconsistentes.

Gráficamente, la solución de dos ecuaciones lineales simultáneas en dos incógnitas equivale a encontrar dónde se cruzan las rectas de las dos ecuaciones. Si estas dos ecuaciones son inconsistentes, las rectas correspondientes en el plano cartesiano son paralelas y nunca se cruzarán (Ver Pregunta de Práctica 2).

Sistemas infradeterminados y sobredeterminados

Al principio de la unidad hemos mencionado brevemente la idea de ecuaciones indeterminadas, es decir, ecuaciones en las que no se puede determinar la respuesta. También se mencionó que existe un sistema indeterminado. También existe la posibilidad de un sistema incoherente. En esta sección exploraremos estas dos ideas.

Podríamos utilizar el método de adición o el método de sustitución para resolver esto. Voy a utilizar el método de sustitución, porque me doy cuenta de que si divido la segunda ecuación por 2, se resolverá para x:

Bueno, resulta que si utilizas el método de la suma o el método de sustitución en un sistema de ecuaciones, y terminas con una ecuación obviamente verdadera (como 10 = 10, o 5 = 5, o 0 = 0) que no tiene ninguna variable en ella, eso significa que el sistema es indeterminado. No se puede resolver porque hay un número infinito de soluciones.

¿Recuerdas que en la primera sección hicimos listas de pares de números que resolvían la primera ecuación y luego los introdujimos en la segunda ecuación para ver cuál funcionaba? Pues bien, en un sistema indeterminado, ¡cualquier par que funcione en la primera ecuación también funcionará en la segunda!

Sistema de ecuaciones irresoluble

solución.Sistemas sobredeterminadosAbrir Live ScriptEste ejemplo muestra cómo los sistemas sobredeterminados se encuentran a menudo en varios tipos de ajuste de curvas a datos experimentales.Una cantidad y se mide en varios valores diferentes de tiempo t para producir las siguientes observaciones. Puede introducir los datos y visualizarlos en una tabla con las siguientes afirmaciones.t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]';

Prueba a modelizar los datos con una función exponencial decrecientey(t)=c1+c2e-t.La ecuación anterior dice que el vector y debe aproximarse mediante una combinación lineal de otros dos vectores. Uno es un vector constante que contiene todos los unos y el otro es el vector con componentes exp(-t). Los coeficientes desconocidos, c1 y c2, pueden calcularse realizando un ajuste por mínimos cuadrados, que minimiza la suma de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto al modelo. Hay seis ecuaciones en dos incógnitas, representadas por una matriz de 6 por 2.E = [ones(size(t)) exp(-t)]E = 6×2

plot(T,Y,'-',t,y,'o')E*c no es exactamente igual a y, pero la diferencia bien podría ser menor que los errores de medición en los datos originales.Una matriz rectangular A es de rango deficiente si no tiene columnas linealmente independientes. Si A tiene un rango deficiente, la solución por mínimos cuadrados de AX = B no es única. A\B emite una advertencia si A es de rango deficiente y produce una solución de mínimos cuadrados. Puede utilizar lsqminnorm para encontrar la solución X que tiene la norma mínima entre todas las soluciones.Underdetermined SystemsEste ejemplo muestra cómo la solución a los sistemas subdeterminados no es única. Los sistemas lineales subdeterminados incluyen más incógnitas que ecuaciones. La operación de división matricial a la izquierda de MATLAB encuentra una solución básica por mínimos cuadrados, que tiene como máximo m componentes distintos de cero para una matriz de coeficientes m por n. He aquí un pequeño ejemplo aleatorio: R = [6 8 7 3; 3 5 4 1].