Como saber si una funcion es continua

Cálculo

Una función continua, como su nombre indica, es una función cuya gráfica es continua sin interrupciones ni saltos. Es decir, si somos capaces de dibujar la curva (gráfica) de una función sin ni siquiera levantar el lápiz, entonces decimos que la función es continua. El estudio de la continuidad de una función es muy importante en cálculo, ya que una función no puede ser diferenciable a menos que sea continua.

Se dice que una función f(x) es una función continua en cálculo en un punto x = a si la curva de la función NO se rompe en el punto x = a. La definición matemática de la continuidad de una función es la siguiente. Una función f(x) es continua en un punto x = a si

¿Esta definición realmente da a entender que la función no debe tener una ruptura en x = a? Veamos. "limₓ → ₐ f(x) existe" significa, que la función debe aproximarse al mismo valor tanto por el lado izquierdo como por el lado derecho del valor x = a y "limₓ → ₐ f(x) = f(a)" significa que el límite de la función en x = a es igual a f(a). Estas dos condiciones juntas harán que la función sea continua (sin solución de continuidad) en ese punto. Puedes entenderlo en la siguiente figura.

Función diferenciable

Explicación: Como el factor está en el numerador y en el denominador, hay una discontinuidad removible en . La función no está definida en , pero la función se movería hacia el mismo punto para la función resultante .

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Teorema de la compresión

lim x-> x0- f(x) = f(x0) (Porque tenemos la circunferencia sin relleno)Pero,lim x-> x0+ f(x) = f(x0) (Porque tenemos la misma circunferencia sin relleno en el mismo lugar)Por lo tanto la función dada es continua en el punto x = x0.(iii)

Solución :lim x-> x0- f(x) = f(x0) (Porque tenemos una circunferencia sin relleno)Pero,lim x-> x0+ f(x) ≠ f(x0) (Porque tenemos una circunferencia con relleno en distinto lugar)Por tanto la función dada no es continua en el punto x = x0.

Pregunta 2 :Consideremos la función f (x) = x sen π/x ¿Qué valor debemos dar a f(0) para que la función sea continua en todas partes? Solución : f (x) = x sen π/x El intervalo de sen x es [-1, 1]-1 ≤ sen π/x ≤ 1Multiplicando x por la ecuación, obtenemos-x ≤ x (sen π/x) ≤ xAhora apliquemos los valores límitelim x -> 0 (-x) ≤ lim x -> 0 x (sen π/x) ≤ lim x -> 0 x0 ≤ lim x -> 0 x (sen π/x) ≤ 0Por el teorema del sandwich lim x -> 0 x (sen π/x) = 0Ahora redefinamos la función.

De aquí llegamos a saber que el valor de f(0) debe ser 0, para que la función sea continua en todas partesPregunta 3 :La función f(x) = (x2 - 1) / (x3 - 1) no está definida en x = 1. ¿Qué valor debemos dar a f(1) para que f(x) sea continua en x = 1? Solución :Aplicando el valor límite directamente en la función, obtenemos 0/0. Simplifiquemos ahora f(x)f(x) = (x2 - 1) / (x3 - 1) = (x + 1) (x - 1)/(x - 1)(x2 + x + 1) = (x + 1) / (x2 + x + 1)lim x-> 1 f(x) = lim x-> 1 (x + 1) / (x2 + x + 1) = (1 + 1)/ (1 + 1 + 1) = 2/3Redefiniendo la función, obtenemos

Función continua

El cálculo quiere describir matemáticamente ese movimiento, tanto la distancia recorrida como la velocidad en un momento dado, sobre todo cuando la velocidad no es constante. Resolver ese problema matemático es una de las primeras aplicaciones del cálculo.

En cualquier problema real de movimiento continuo, la distancia recorrida se representará como una "función continua" del tiempo recorrido porque siempre tratamos el tiempo como continuo. Por lo tanto, debemos investigar qué entendemos por función continua.

Una gráfica es una ayuda para ver una relación entre números. Por lo tanto, considera la gráfica de una función f(x) a la izquierda. Esa gráfica es una línea continua, ininterrumpida. Por tanto, queremos decir que f(x) es una función continua. Pero una función es una relación entre números. (Tema 3 de Precálculo.) Por tanto, cualquier definición de función continua debe expresarse sólo en términos de números. Para ello, debemos ver qué es lo que hace que una gráfica -- una recta -- sea continua, y tratar de encontrar esa misma propiedad en los números.