Como saber si una matriz es invertible
Cómo saber si una matriz de 3x3 es invertible
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donde In denota la matriz identidad n por n y la multiplicación utilizada es la multiplicación matricial ordinaria. Si este es el caso, entonces la matriz B está determinada unívocamente por A, y se llama la inversa (multiplicativa) de A, denotada por A-1.[1] La inversión matricial es el proceso de encontrar la matriz B que satisface la ecuación anterior para una matriz invertible A dada.
Una matriz cuadrada que no es invertible se denomina singular o degenerada. Una matriz cuadrada es singular si y sólo si su determinante es cero[2]. Las matrices singulares son raras en el sentido de que si las entradas de una matriz cuadrada se seleccionan al azar de cualquier región finita de la recta numérica o del plano complejo, la probabilidad de que la matriz sea singular es 0, es decir, "casi nunca" será singular. Las matrices no cuadradas (matrices de m por n para las que m ≠ n) no tienen inversa. Sin embargo, en algunos casos una matriz de este tipo puede tener una inversa a la izquierda o a la derecha. Si A es m por n y el rango de A es igual a n (n ≤ m), entonces A tiene una inversa izquierda, una matriz B de n por m tal que BA = In. Si A tiene rango m (m ≤ n), entonces tiene una inversa derecha, una matriz B de n por m tal que AB = Im.
Cómo saber si una matriz es invertible utilizando los valores propios
En álgebra lineal, una matriz cuadrada A de n por n se llama invertible, si existe una matriz cuadrada B de n por n tal que donde 'In' denota la matriz identidad de n por n. La matriz B se llama matriz inversa de A. Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. La matriz B se denomina matriz inversa de A. Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si su determinante es distinto de cero. Ejemplos: Entrada : {{1, 2, 3}
# Contributed by Pranav GuptaOutput1Demostración Paso a Paso:Fijación de la Fila 0P.S. Realizar esta conversión con lápiz y papel puede parecer engorroso pero estos planteamientos están hechos desde la perspectiva de una máquina y no de un humano. Esto es bastante evidente después de ver los términos de la matriz después de este paso.Fixing Row 1Fixing Row 2 Finalmente, llegamos a nuestra Forma Echelon Fila Reducida. Como podemos ver Hemos sido capaces de reducir a la forma deseada. Por lo tanto es invertible. El código habría lanzado la excepción MatrixIsSingular y devuelto false si hubiéramos fallado en cualquier paso. La memoria requerida para el enfoque anterior sería O(1) ya que estamos modificando sólo la copia de la matriz original en contraste con el enfoque ingenuo que requería espacio adicional O(n2) para almacenar los cofactores. Si la matriz se pasa por el valor podemos realizar los pasos directamente en la matriz pasada.Mis Notas Personales
Matriz no invertible
La eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una matriz es invertible y puede hacerse en tiempo polinómico (de hecho, cúbico). El mismo método (cuando se aplica la operación de la fila opuesta a la matriz identidad) funciona para calcular la inversa en tiempo polinómico también.
El cálculo del determinante y la eliminación de Gauss están bien si se utilizan cálculos exactos, por ejemplo, si las entradas de la matriz son números racionales y sólo se utilizan números racionales durante los cálculos. La desventaja es que el numerador y el denominador pueden llegar a ser muy grandes. Así que el número de operaciones puede ser O(n2.376) u O(n3), pero el coste de cada suma y multiplicación aumenta a medida que n crece porque los números son más grandes.
Esto no es un problema si se utilizan números en coma flotante, pero entonces existe el problema de que los cálculos en coma flotante no son exactos. Algunos métodos son más sensibles a esto que otros. En particular, la comprobación de la invertibilidad mediante el cálculo del determinante es una mala idea en este contexto. La eliminación gaussiana es mejor. Aún mejor es utilizar la descomposición en valores singulares, que se tratará hacia el final del curso del MIT.
Comprobar si la matriz es invertible calculadora
Una matriz invertible es una matriz cuadrada definida como invertible si el producto de la matriz y su inversa es la matriz identidad. Una matriz identidad es una matriz en la que la diagonal principal son todos 1s y el resto de los valores de la matriz son 0s. Las matrices invertibles a veces se denominan no singulares o no degeneradas, y suelen definirse con números reales o complejos.
El proceso de hallar la inversa de una matriz se conoce como inversión matricial. Sin embargo, es importante tener en cuenta que no todas las matrices son invertibles. Para que una matriz sea invertible, debe poder multiplicarse por su inversa. Por ejemplo, no hay ningún número que pueda multiplicarse por 0 para obtener un valor de 1, por lo que el número 0 no tiene inversa multiplicativa. Además, una matriz puede no tener inversa multiplicativa, como es el caso de las matrices que no son cuadradas (distinto número de filas y columnas).